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Distribuzione di Poisson Se vuoi vedere la dimostrazione per calcolare la variabile aleatoria. La distribuzione di Poisson e' una distribuzione che assume i valori 0,1,2,3,4,.....x con probabilita' Px = μx x! e-μ essendo μ = p n con p probabilita' dell'evento ed n numero dei casi possibili per l'evento scriviamola come variabile aleatoria Evento x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 ..... x = x probabilita' μ0     e-μ 0! μ1     e-μ 1! μ2     e-μ 2! μ3     e-μ 3! ............ μx     e-μ x! l'evento puo' accadere 0 volte, 1 volta, 2 volte, eccetera Come esercizio riprendiamo l'esempio della pagina precedente (anche se un po' macabro) e prendiamo le tabelle di soldati morti in 10 reggimenti prussiani in 20 anni, cioe' ci comportiamo come se fossero 200 reggimenti controllati per un anno: abbiamo le frequenze Morti per un calcio di mulo nessuno un morto due morti tre morti quattro morti cinque morti Numero reggimenti 109 65 22 3 1 0 cioe', per il calcio di un mulo, in un anno 109 reggimenti non hanno avuto nessun morto, 65 reggimenti hanno avuto un morto, 22 reggimenti hanno avuto due morti ciascuno, 3 reggimenti hanno avuto 3 morti ed uno ha avuto 4 morti; in totale i morti son stati 122 Siccome i morti sono stati 122 la frequenza di morte sara' data dal rapporto fra il numero di morti ed il numero dei reggimenti, cioe' 122/200 = 0,61 Consideriamo allora tale frequenza come probabilita' p = 0,61 ed avendo considerato una sola possibilita' (morte) np = 1·0,61 = 0,61 quindi abbiamo la distribuzione di Poisson sulla probabilita' che ogni reggimento abbia 0,1,2,3,4,5 morti in un anno Numero morti x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 Probabilita' per ogni reggimento 0,610       e-0,61 0! 0,611       e-0,61 1! 0,612       e-0,61 2! 0,613       e-0,61 3! 0,614       e-0,61 4! 0,615       e-0,61 5! e, con una buona calcolatrice otteniamo Numero morti x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 Probabilita' per ogni reggimento 0,54335 0,33144 0,10109 0,02056 0,00313 0,00038 Per ottenere la probabilita' per i 200 reggimenti bastera' moltiplicare per 200 Numero morti x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 Probabilita' moltiplicata per tutti i reggimenti 108,71 66,288 20,218 4,112 0,626 0,076 Se ora la confrontiamo con la frequenza effettiva vediamo che abbiamo un'ottima approssimazione Numero morti x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 Probabilita' per tutti i reggimenti 108,71 66,288 20,218 4,112 0,626 0,076 Frequenza 109 65 22 3 1 0 Morti effettivi 0 65 44 9 4 0 Intendiamoci: siamo partiti da una frequenza e quindi otteniamo dei valori logicamente compatibili con tale frequenza, pero' l'importante e' che la distribuzione di Poisson da' la "tendenza" di un fenomeno raro e di applicazioni se ne avranno tantissime: dal progettare il mercato per farmaci di malattie rare al vedere la distribuzione di auto con 0,1,2,3 incidenti per anno e quindi fissare le tariffe bonus/malus, al programmare il numero di pezzi da mettere in una spedizione presupponendo che una piccolissima percentuale sia difettosa, al numero di telefonate che arrivano ad un centralino, alle auto che si fermano ad una stazione di servizio, ai clienti di uno sportello bancario, eccetera, eccetera..............