Interpolazione diretta


Si parla di interpolazione diretta quando ai numeri crescenti corrispondono dei dati crescenti (cioe' se crescono i numeri della prima colonna della tabella allora crescono anche i numeri della seconda)

Prima facciamo un esempio pratico partendo da un tipo di tabelle di solito usato alle scuole medie: la tabella dei cubi
riportiamone un piccolo stralcio
Numeri    cubi   
123 1860867
124 1906624
125 1953125
126 2000376
Supponiamo di dover calcolare (124,7)3
Quando il nostro numero passa da 124 a 125 si incrementa di 1 (l'incremento e' di quanto il primo numero aumenta per diventare il secondo)
contemporaneamente il cubo si incrementa da 1906624 a 1953125 cioe' di 1953125-1906624=46501
significa che ad un incremento di 1 del numero corrisponde un incremento di 46501 per il cubo
noi siccome cerchiamo il cubo di 124,7 (chiamiamolo x) dovremo vedere a quanto corrisponde un incremento di 0,7 del numero: supponiamo che gli incrementi siano proporzionali, allora potremo scrivere
1 : 46501 = 0.7 : x
risolvo la proporzione
x = 0,7 ·46501 = 32550,7
quindi l'incremento che corrisponde a 0,7 e' 32550,7 e quindi avremo
(124,7)3 = 1906624 + 32550,7 = 1939174,7

Naturalmente tale valore e' approssimato e differisce in qualcosa dal valore effettivo (1939096,2), pero' ci permette di tenere sotto controllo l'errore senza farlo diventare troppo incisivo e quando non si potra' fare di meglio dovremo accontentarci
Ora trasformiamo l'esempio in formule
consideriamo una tabella e due sue righe
Numeri x Risultati y
....... .......
x1 y1
x2 y2
....... .......

Supponiamo di dover calcolare il valore (chiamiamolo y0) corrispondente ad x0 compreso fra i valori x1 e x2

Numeri x Risultati y
....... .......
x1 y1
x0 y0
x2 y2
....... .......

Il ragionamemto fa fare e':
quando il numero x passa da x1 ad x2 allora il risultato y passa da y1 ad y2 e quando il numero x passa da x1 ad x0 il risultato y passa da y1 a qualcosa che dobbiamo trovare (y0)
Scriviamolo in formule
quando il numero x passa da x1 ad x2 si scrive x2-x1
il risultato y passa da y1 ad y2 si scrive y2-y1
quando il numero x passa da x1 ad x0si scrive x0-x1
il numero y passa da y1 a y0 si scrive y0-y1


Vale la proporzione
(x2 - x1):(y2 - y1) = (x0 - x1):(y0 - y1)

devo trovare y0, prima risolvo la proporzione

y0 - y1 = (x0 - x1)·(y2 - y1)

(x2 - x1)

ora trovo y0 ed ottengo la formula dell'interpolazione diretta

y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1)

(x2 - x1)
+ y1

Come esercizio vediamo di applicare la formula trovata all'esempio precedente
Ho come dati
1243 = 1906624
1253 = 1953125
devo trovare 124,73 = y0
applico la formula
y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1)

(x2 - x1)
+ y1 = (124,7 - 124)·(1953125 - 1906624)

125 - 124
+ 1906624 = 0,7·46501 + 1906624 = 32550,7 + 1906624 = 1939174,7

Vediamo infine un esempio considerando la colonna dei numeri crescente mentre l'insieme dei risultati e' decrescente, tipo quello che succede quando consideriamo gli inversi dei numeri naturali n → 1/n
Possiamo applicare comunque sempre la stessa formula (avremo pero' come decremento un numero negativo)
Numero Inverso
124 0,008064516
124,7 y0
125 0,008000000

applico la formula
y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1)

(x2 - x1)
+ y1 = (124,7 - 124)·(0,008000000 - 0,008064516)

125 - 124
+ 0,008064516 =
= 0,7·(-0,000064516) + 0,008064516 = -0,000045161 + 0,008064516 = 0,008019355

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