Definizione Definiamo Successione un insieme di numeri ordinato e numerabile Un insieme e' ordinato quando presi due elementi a e b e' sempre possibile dire se a precede o segue b Un insieme e' numerabile se e' possibile stabilire una corrispondenza biunivoca degli elementi dell'insieme con l'insieme N dei numeri naturali Possiamo anche considerare, oltre i numeri, anche grandezze matematiche o fisiche della stessa specie, ma qui limitiamoci solamente a numeri I valori dei termini della succesione possono essere interi, razionali, reali, complessi; l'importante e' che per ogni numero dato sappiamo scrivere quello che viene dopo; per scrivere quello che viene dopo devo capire qual'e' la legge che mi da'i termini della successione Esempio 1 Questa e' una successione perche' per ogni numero posso scriverne il successivo 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . e viene detta successione dei numeri naturali N Esempio 2 Anche qui per ogni numero posso scriverne il successivo 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . . . . e' una cosiddetta successione geometrica (ci torneremo poi); si puo' anche scrivere 20, 21, 22, 23, 24, 25,...... Esempio 3 Anche qui per ogni numero posso scriverne il successivo 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . . . . e' la successione dei numeri pari. Esempio 4 Non sempre e' possibile trovare una regola matematica che ci permetta di scrivere immediatamente i termini di una successione Anche questa e' una successione, ma non e' immediato capire come scrivere i termini 1, 8, 7, 5, 4, 15, . . . . . . lo puoi capire se scrivi i numeri in lettere uno, otto, sette, cinque, quattro, quindici, . . . . . . se conti le lettere che formano i numeri vedi che sono 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . . . . quindi la successione e' formata dai numeri naturali (piu' piccoli) che hanno il numero di lettere del loro nome uguali a 3,4,5,6,7,8,.. Quando ho individuato la legge della successione ho individuato i termini della successione stessa: il prossimo termine sara' 29 perche' ventinove e' il numero naturale piu' basso il cui nome e' formato da 9 lettere Non possiamo esprimere la legge che genera questa successione in termini matematici; lasciando ai giornali di enigmistica successioni di questo tipo, noi ci occuperemo solamente di successioni la cui legge sia esprimibile mediante una formula matematica Come definizione quella sopra e' molto "teorica"; per utilizzarla nella pratica ci vuole qualcosa di piu' efficace Possiamo utilizzare il concetto di funzione dicendo Definiamo successione in un insieme K qualunque applicazione (o funzione) da N a K tale che ad ogni valore 1,2,...n, ∈ N faccia corrispondere un valore in K in modo che, individuato il valore corrispondente al termine n, si sappia sempre individuare quale valore corrisponde al termine n+1 E' la stessa definizione, pero' cosi' definiamo la successione mediante la regola di induzione e ci colleghiamo al concetto di funzione Per le successioni che studieremo K puo' essere N, R, o qualunque altro insieme numerico; naturalmente dovremo sempre dire di quale insieme si tratta: quindi diremo successione in N, successione in R, ...