Successione infinitesima Diremo che la successione a1,   a2,  a3, ..... an, ..... e' infinitesima se ammette come limite 0 cioe' se preso un numero ε piccolo a piacere, tutti i termini della successione distano da 0 per meno di ε per ogni n superiore ad un numero kε∈N dipendente da ε In simboli limn→∞ an = 0     ⇔     |an|<ε   ⇒   n > kε Esempio: verifico che la successione 1 2 1 4 1 8 ..... 1 2n ..... tende a zero; Se considero un mumero piccolissimo ε, devo mostrare che esiste un legame fra ε e l'indice n tale che piu' diminuisce ε piu' aumenta n. Dimostriamo che da un certo momento in poi, se n e' grande, vale: | 1 2n |< ε tolgo il modulo essendo l'altro termine certamente positivo come potenza di un numero positivo e l'espressione precedente equivale a: 1 2n < ε mcm e tolgo il denominatore: essendo tutti i numeri positivi la disuguaglianza conserva il verso; ottengo: 1 < ε·2n Ricavo n 2n > 1 ε per ricavare l'esponente passo ai logaritmi n = log2 1 ε questa espressione e' equivalente alla prima Essendo ε molto piccolo segue che 1/ε e' molto grande ed anche il logaritmo in base due di un numero molto grande e' molto grande e piu' diminuisce ε piu' aumenta il valore del logaritmo come volevamo Senza farne la dimostrazione diciamo che vale la seguente affermazione: Se la successione a1,  a2,  a3,  a4, .........  an,  ....... converge al valore a allora la successione a1-a,  a2-a,  a3-a,  a4-a, .........  an-a,  ....... e' infinitesima e vale anche il viceversa: Se la successione a1-a,  a2-a,  a3-a,  a4-a, .........  an-a,  ....... e' infinitesima allora la successione a1,  a2,  a3,  a4, .........  an,  ....... converge al valore a