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In questa pagina studiamo una successione molto importante: la successione geometrica che abbiamo gia' utilizzato varie volte La successione geometrica e' una progressione geometrica di ragione uguale al suo primo termine. Se chiamo a il primo termine posso scriverla come a, a2, a3, a4,... an, .... la ragione e' q = a Se a > 1 la successione diverge, per mostrarlo trovo una minorante che diverga: considero, come minorante, la successione 1, 2a-1, 3a-2,..... na-n+1, .... o meglio 1, 2a-1, 3a-2,..... 1+ n(a-1), .... Mostriamo che vale sempre, (per a>1 ed n>1) an > 1+n(a-1) Partiamo dalla disuguaglianza (1+b)n > 1+nb sempre vera se b>1 ed n>1 dimostrazione devo far comparire (1+b) anche al secondo termine, allora aggiungo +n e -n nel secondo termine (1+b)n > 1+nb +n-n (1+b)n > 1+n(b+1) - n pongo (1+b) = a, posso farlo perche' ho posto a>1 ottengo an > 1+na-n cioe', raccogliendo n an > 1+n(a-1) come volevamo Abbiamo, essendo a>1 limn→∞ 1+n(a-1) = +∞ quindi, essendo la successione geometrica una maggiorante, avremo limn→∞ an = +∞ Se a = 1 la mia successione diventa una successione costante 1, 12, 13, 14 .......1n, .... o meglio 1, 1, 1 1 .......1,.... e quindi limn→∞ 1n = 1 Se -1 < a < +1 allora la successione inversa
limn→∞ an = 0 Se a = -1 la mia successione diventa una successione oscillante di modulo costante 1 (-1)1, (-1)2, (-1)3, (-1)4 .......(-1)n, .... o meglio -1, +1, -1 +1 .......(-1)n,.... e non ammette limite Se a < -1 la mia successione diventa oscillante ed avra' in modulo gli stessi termini della successione considerata sopra per a>1 (-1)1a1, (-1)2a2, (-1)3a3, (-1)4a4,... (-1)nan, .... o meglio -a, +a2, -a3, + a4,... (-1)nan, .... e divergera' ad infinito limn→∞ (-1)n·an = ∞ |
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