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Chiamiamo ridotta di una successione la somma dei termini della successione sino ad un termine definito Esempio; l'insieme a1+a2+a3+a4 e' la ridotta di ordine 4 della successione a1, a2, a3, ......an, ........ Consideriamo una qualunque successione di numeri reali a1, a2, a3, ......an, ........ consideriamo le ridotte s1 = a1 s2 = a1+a2 s3 = a1+a2+a3 ................................. sn = a1+a2+a3+.....+an ................................. La successione delle ridotte s1, s2, s3, ...... sn, ........ si chiama serie numerica Naturalmente e' possibile, data la serie, "ritrovare" la successione generatrice; cioe': Data la serie s1, s2, s3, ...... sn, ........ la successione generatrice sara' s1, s2-s1, s3-s2, ...... sn-sn-1, ........ infatti, avremo: s1 = a1 s2-s1 = a2+a1 -a1 = a2 s3-s2= a3+a2+a1 - (a2+a1) = a3+a2+a1 - a2-a1 = a3 ....................................... sn-sn-1 = an+ an-1+an-2+ ..... +a3+a2+a1 - (an-1+ an-2+ ....+a3+a2+a1) = an+ an-1+an-2+ ..... +a3+a2+a1 - an-1-an-2- ....-a3-a2-a1 =an ...................................... Diremo che una serie sk converge (o converge semplicemente) se converge la successione delle sue ridotte s1, s2, s3, ...... sn, ........ Se la serie a1+a2+a3+a4+..... converge allora il limite s si chiama anche somma della serie e vale s = a1+a2+a3+...... +an+........ che indicheremo anche come s = ∑∞n=1 an se invece la serie diverge positivamente o negativamente avremo ∑∞n=1 an = ±∞ In pratica quindi una serie non e' altro che una successione e si potrebbero studiare concettualmente le serie come successioni, ma ormai e' nella tradizione studiare le serie come enti autonomi e presentare alcuni teoremi come teoremi sulle serie ed altri come teoremi sulle successioni ed altri ancora nella doppia forma. Come esempio vediamo un teorema sulle serie che ci fornisce un teorema sulle successioni Per il teorema generale di convergenza delle successioni avremo che, se la serie sn converge (essendo una successione applico il criterio di convergenza di Chauchy) si ha limn→∞ |sn-sn-1| = 0 quindi, visto che, per l'osservazione sulle successioni generatrici, vale sn-sn-1 = an otteniamo limn→∞ an = 0 cioe' il termine generale an di una successione che genera una serie numerica convergente e' infinitesimo al divergere di n nota: la condizione e' necessaria, ma non sufficiente, cioe' se la serie e' convergente il termine generico e' infinitesimo, ma non vale sempre il viceversa: esistono successioni con termine generico infinitesimo che danno luogo a serie divergenti |
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