Delta del polinomio maggiore di zero

Voglio trovare il segno del polinomio di secondo grado
ax2 + bx + c
Considero l'equazione associata
ax2 + bx + c = 0
Se il discriminante dell'equazione e' maggiore di zero allora ho due soluzioni
x1    e    x2    reali e distinte 
e in questo caso posso utilizzare la decomposizione del trinomio
ax2 + bx + c = a ( x - x1)(x - x2)
Quindi bastera' trovare il segno di
a ( x - x1)(x - x2)
Anzi, siccome a e' maggiore di zero possiamo limitarci a
( x - x1)(x - x2)
Dobbiamo trovare il segno di quest'espressione quando ad x assegniamo un valore sulla retta reale
Ho cerchiato i valori perche' in quei punti l'espressione vale zero

Vi sono tre possibilita', la x si puo' trovare (partendo da sinistra):
  • Prima di x1
  • tra x1 ed x2
  • Dopo x2
dobbiamo studiare tutti e tre i casi
  • la x si trova prima di x1
    in questo caso il fattore ( x - x1) e' negativo (perche' ho un numero piu' a sinistra meno un numero piu' a destra)
    ma anche il fattore ( x - x2) e' negativo (perche' ho un numero piu' a sinistra meno un numero piu' a destra)
    quindi l'espressione ( x - x1)(x - x2) essendo il prodotto di due fattori negativi e' positiva


  • la x si trova tra x1 ed x2
    in questo caso il fattore ( x - x1) e' positivo (perche' ho un numero piu' a destra meno un numero piu' a sinistra)
    mentre il fattore ( x - x2) e' negativo (perche' ho un numero piu' a sinistra meno un numero piu' a destra)
    quindi l'espressione ( x - x1)(x - x2) essendo il prodotto di un positivo ed un negativo e' negativa


  • La x si trova dopo x2
    in questo caso il fattore ( x - x1) e' positivo (perche' ho un numero piu' a destra meno un numero piu' a sinistra)
    ma anche il fattore ( x - x2) e' positivo (perche' ho un numero piu' a destra meno un numero piu' a sinistra)
    quindi l'espressione ( x - x1)(x - x2) essendo il prodotto di due numeri positivi e' positiva



Raccogliendo i risultati avremo:
Cioe' se il delta e' maggiore di zero il trinomio e' positivo per valori esterni all'intervallo delle radici ed e' negativo per valori interni


a 0
ax 2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0
valori esterni all'intervallo delle radici valori interni all'intervallo delle radici

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