il modulo di una somma e' minore od uguale alla somma dei moduli Se p e qsono numeri reali, vale sempre la disuguaglianza |p + q|≤ |p| + |q| cioe' Il modulo di una somma e' sempre minore od uguale alla somma dei moduli Dimostrazione partiamo dalla disuguaglianze -|p| ≤ p ≤ |p| -|q| ≤ q ≤ |q| Tali disuguaglianze sono ovvie: infatti ogni numero reale e' maggiore od uguale del suo modulo cambiato di segno ed e' minore od uguale al suo modulo sommo termine a termine -|p| -|q| ≤ p + q ≤ |p| + |q| Raccolgo il meno, raggruppo con le parentesi ed ottengo -(|p| +|q|) ≤ (p + q) ≤ (|p| + |q|) Visto il risultato della pagina precedente questo equivale a dire | p + q | ≤ |p| + |q| come volevamo spiego meglio il passaggio finale: dalla relazione |a|≤b ⇔ -b ≤ a ≤ b letta alla rovescia -b ≤ a ≤ b ⇔ |a|≤b se al posto di a pongo p+q ed al posto di b pongo |p|+|q| ottengo -(|p| +|q|) ≤ (p + q) ≤ (|p| + |q|) ⇔ |p+q|≤ |p|+|q|