Due equazioni equivalenti Prima facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati Risolvere il sistema: x + y + z = 6 x + y + z = 6 x + y - z = 0 Metodo di sostituzione In questo caso ho che la prima e la seconda equazione sono equivalenti (anzi sono addirittura uguali), e se andassi a sostituire normalmente otterrei alla fine 0=0; quindi, per poter risolvere devo eliminare una delle due equazioni equivalenti ed il mio sistema si riduce a x + y + z = 6 x + y - z = 0 Risolvo con il metodo di sostituzione: ricavo la y dall'ultima equazione e vado a sostituire nella prima x + z - x + z = 6 y = z - x sommo 2z = 6 y = z - x divido per 2 z = 3 y = z - x sostituisco a z il valore 3 ed ottengo il risultato z = 3 y = 3 - x Ottengo quindi oo soluzioni perche' per ogni valore che posso dare ad x (1,2,3,..... 1/2, 1/3, ....) ottengo un valore per y e quindi il mio sistema ammette infinite soluzioni che posso anche indicare come x = k y = 3-k z = 3              con k numero reale Metodo di Cramer Considero le matrici incompleta e completa 1    1     1 1    1     1 1    1    -1                     1    1     1     6 1    1    1     6 1    1    -1    0 Matrice incompleta Matrice completa Vediamo che ci sono due righe uguali: se procedessi normalmente otterrei che i determinanti 3x3 sarebbero tutti nulli (due righe uguali) ed otterrei come soluzioni 0/0 (valore indeterminato); quindi per procedere a trovare le soluzioni devo eliminare una equazione delle due uguali ed il mio sistema diventa x + y + z = 6 x + y - z = 0 Devo spostare dopo l'uguale una incognita, trattandola come un numero dato, per avere tante incognite quante equazioni sposto dopo l'uguale la x per ottenere gli stessi risultati trovati sopra: ottengo il sistema y + z = 6 - x y - z = -x con matrice incompleta e completa 1     1 1    -1                     1     1     6-x 1    -1      -x Matrice incompleta Matrice completa Trovo y con la regola di Cramer       6-x    1 -x    -1    (6-x)·(-1) - 1·(-x)         -6 +x +x        -6 + 2x y = --------------- = ---------------------- = --------------- = ---------- = 3-x       1     1 1    -1           1·(-1) - 1·1               -1 - 1               -2 Trovo z con la regola di Cramer       1    6-x 1     -x     1·(-x) - (6-x)·1         -x -6 + x            -6 z = --------------- = ---------------------- = --------------- = -------- = 3       1     1 1    -1           1·(-1) - 1·1               -1 - 1            -2 e quindi, siccome posso dare ad x un valore qualunque: x = k y = 3-k z = 3              con k numero reale Possiamo quindi dire: Se due equazioni sono equivalenti allora il sistema ammette oo soluzioni per poter elaborare una teoria unitaria avremo bisogno di nuovi concetti quali: dipendenza ed indipendenza lineare matrici, determinanti e rango di una matrice Lo vedremo nelle prossime pagine