Tre equazioni equivalenti Anche qui facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati Risolvere il sistema: x + y + z = 6 x + y + z = 6 2x + 2y + 2z = 12 Metodo di sostituzione In questo caso le tre equazioni sono equivalenti (le prime due sono addirittura uguali e la terza e' ottenuta dalla prima moltiplicandone i termini per 2), e se andassi a sostituire normalmente otterrei alla fine 0=0; quindi, per poter risolvere devo eliminare due delle tre equazioni equivalenti ed il mio sistema si riduce al'equazione x + y + z = 6 Risolvo: ricavo la x come se y e z fossero numeri dati x = 6 - y - z ora posso attribuire ad y infiniti valori, ma non solo: per ogni valore che do' ad y posso dare infiniti valori a z Se non ti e' chiaro e quindi il mio sistema ammette infinite al quadrato (oo2) soluzioni che posso anche indicare come x = 6-h-k y = h z = k              con h e k numeri reali Metodo di Cramer Considero le matrici incompleta e completa 1    1     1 1    1     1 2    2     2                     1    1    1     6 1    1    1     6 1    1    1     6 Matrice incompleta Matrice completa Vediamo che ci sono due righe uguali ed una proporzionale: se procedessi normalmente otterrei che i determinanti 3x3 sarebbero tutti nulli (ed anche tutti quelli 2x2) ed otterrei come soluzioni 0/0 (valore indeterminato); quindi per procedere a trovare le soluzioni devo eliminare due equazione delle tre uguali ed il mio sistema diventa x + y + z = 6 Devo spostare dopo l'uguale due incognite, trattandola come numeri dati, per avere tante incognite quante equazioni sposto dopo l'uguale la y e la z per ottenere gli stessi risultati trovati sopra: ottengo x = 6 - y - z con matrice incompleta e completa 1                     1     6-y-z Matrice incompleta Matrice completa Trovo x con la regola di Cramer       6-y-z           6-y-z x = --------------- = ----------- = 6-y-z        1                  1 e quindi, siccome posso dare ad y e z un valore qualunque: x = 6-h-k y = h z = k              con h e k numeri reali Possiamo quindi dire: Se tre equazioni sono equivalenti allora il sistema ammette oo2 soluzioni E' ormai ora di parlare di: dipendenza ed indipendenza lineare matrici, determinanti e rango di una matrice