Calcolo del determinante col metodo di Laplace Il determinante di ordine 1 corrisponde al numero stesso a1,1 = a1,1 Se ora vado a rivedere come calcolavo il determinante nel caso di un sistema di due equazioni in due incognite posso dire: a1,1    a1,2 a2,1    a2,2 = a1,1·a2,2 - a1,2·a2,1 = a1,1·C1,1 - a1,2·C1,2 Cioe' moltiplico il primo elemento della prima riga per il suo complemento e moltiplico il secondo elemento della prima riga per il suo complemento e faccio la differenza Posso anche dire: Sommo ogni termine della prima riga moltiplicato per il suo complemento algebrico Controlla come esercizio che e' indifferente se sviluppi utilizzando gli elementi della seconda riga, della prima colonna od anche della seconda colonna: ottieni sempre lo stesso risultato Estendiamo il metodo ad un determinante 3x3 a1,1    a1,2    a1,3 a2,1   a2,2    a2,3 a3,1   a3,2    a3,3 Sviluppo secondo la prima riga (e' indifferente sviluppare secondo una qualsiasi riga o colonna) mettendo il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento e' pari ed il segno negativo se la somma degli indici dell'elemento e' dispari. Meglio dire: Sommo ogni termine di una riga (o colonna) moltiplicato per il suo complemento algebrico a1,1    a1,2    a1,3 a2,1   a2,2    a2,3 a3,1   a3,2    a3,3 = + a1,1·C1,1 - a1,2·C1,2 + a1,3·C1,3 se vuoi vedere come calcolare il segno dei complementi algebrici fai click sopra i segni stessi e quindi abbiamo a1,1    a1,2    a1,3 a2,1   a2,2    a2,3 a3,1   a3,2    a3,3 = a1,1 · a2,2    a2,3 a3,2    a3,3 - a1,2 · a2,1    a2,3 a3,1    a3,3 + a1,3 · a2,1    a2,2 a3,1    a3,2 Se vuoi vedere un esempio numerico di calcolo di un determinante 3x3 Questo metodo sara' applicabile per ricorrenza anche a determinanti 4x4, 5x5,.... Regola generale (sviluppo secondo l'h-sima riga) a1,1    a1,2    . . .   a1,k   . . .    a1,n a2,1   a2,2    . . .   a2,k   . . .    a2,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ah,1   ah,2    . . .   ah,k   . . .    ah,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an,1   an,2    . . .   an,k   . . .    an,n = = ah,1 (-1)h+1 Ch,1 + ah,2 (-1)h+2 Ch,2 + .... + ah,k (-1)h+k Ch,k + .... + ah,n (-1)h+n Ch,n ti ricordo che i termini (-1)h+k forniscono il segno del complemento algebrico e valgono +1 quando l'esponente e' pari mentre valgono -1 quando l'eponente e' dispari Inoltro posso scegliere una qualunque riga o colonna per sviluppare; quindi, per rendere i calcoli piu' semplici, se possibile, scegliero' una riga o una colonna dove vi sono termini uguali a zero esempio di calcolo di un determinante 4x4 esempio di calcolo di un determinante 5x5 Essendo i calcoli generalmente molto laboriosi vedremo nella prossima pagina delle proprieta' che ci permetteranndo di trasformare un determinante in altri equivalenti ma con righe o colonne con elementi nulli