Scomposizione di una frazione polinomiale nella somma di piu' frazioni elementari
Questa parte riguarda solamente i polinomi, ma viene studiata ora perche'
serve principalmente per l'integrazione
Il sistema migliore di vedere il metodo e' di fare prima un esempio, poi ne
scriveremo i punti principali:
Scomporre come somma di frazioni elementari la frazione:
E' quella che abbiamo lasciato in sospeso nell'introduzione
| -4x2 - 6x + 7 |
|
| ---------------------- |
= |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
considero
x3 - 2x2 - x + 2 =
Scompongo
calcoli
= (x - 1)(x + 1)(x - 2)
Le tre radici (reali e distinte) del denominatore sono 1, -1, 2
Posso scrivere la frazione come somma delle tre frazioni
| -4x2 - 6x + 7 |
|
A |
|
B |
|
C |
| ---------------------- |
= |
--------- |
+ |
--------- |
+ |
--------- |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
(x - 1) |
|
(x + 1) |
|
(x - 2) |
Devo trovare A B e C
A destra faccio il minimo comune multiplo
| -4x2 - 6x + 7 |
|
A(x + 1)(x - 2) +B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 1) |
| ---------------------- |
= |
----------------------------------------------------------- |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
(x - 1)(x + 1)(x - 2) |
Dopo un po' di calcoli ottengo
calcoli
| -4x2 - 6x + 7 |
|
x2(A + B +C) +x(-A - 3B) - 2A + 2B - C |
| ---------------------- |
= |
----------------------------------------------------------- |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
(x - 1)(x + 1)(x - 2) |
Vale il
Principio di identita' dei polinomi:
Due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali tutti i termini dello
stesso grado
quindi, essendo uguali i denominatori, perche' anche i numeratori siano uguali deve essere
A + B + C = -4
-A - 3B = -6
- 2A + 2B - C = 7
Pongo a sistema le tre equazioni per calcolare A, B e C
A + B + C = -4
-A - 3B = -6
Calcoli
- 2A + 2B - C = 7
Ed ottengo
A = 3/2
B = 3/2
C = -7
Quindi posso scrivere
| -4x2 - 6x + 7 |
|
3/2 |
|
3/2 |
|
-7 |
| ---------------------- |
= |
--------- |
+ |
--------- |
+ |
--------- |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
(x - 1) |
|
(x + 1) |
|
(x - 2) |
o meglio
| -4x2 - 6x + 7 |
|
3 |
|
3 |
|
7 |
| ---------------------- |
= |
--------- |
+ |
--------- |
- |
--------- |
| x3 - 2x2 - x + 2 |
|
2(x - 1) |
|
2(x + 1) |
|
(x - 2) |
Riassumendo
- Trovo le radici del denominatore
- Pongo la frazione uguale ad una somma di frazioni elementari dipendenti dalle radici trovate
- Faccio il minimo comune multiplo fra le frazioni elementari e calcolo il numeratore
- Pongo ogni termine del numeratore trovato uguale ad ogni termine del numeratore del polinomio di partenza (principio di identita' dei polinomi) ottengo tante equazioni in A,B,C.. quante sono le incognite
- Metto a sistema le equazioni trovate per trovare il valore di A,B,C,...
- Sostituisco i valori trovati nelle frazioni elementari
Ora si tratta di vedere come integrare le funzioni elementari
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