Collegamento ai sistemi di numerazione



Non posso procedere senza fare notare i profondi collegamenti che esistono fra i resti modulo p e i sistemi di numerazione in base p
Dopo sviluppati i sistemi di numerazione sostituire la pagina con un link ai sistemi di numerazione
Vedremo, nei sistemi di numerazione, che , per trovare le cifre di un numero in base qualunque p (sistema di numerazione in base p) bastera' calcolarne i successivi resti della divisione del numero per p e poi considerare tali resti in ordine inverso: cio' deriva dal fatto che consideriamo i numeri in forma polinomiale e quindi, dividendo un numero per p troviamo i successivi temini con le potenze di p
Due esempi serviranno a rendere meglio l'idea
prima un esempio banale: consideriamo il numero decimale
34567
in forma polinomiale posso scriverlo come
3·104 + 4·103 + 5·102 + 6·101 + 7·100
Se ora divido questo numero per 10 ottengo che tutte le potenze del 10 diminuiscono di 1 e l'ultimo termine e' il resto
quoziente = 3·103 + 4·102 + 5·101 + 6·100
resto = 7
dividendo ancora per 10 avro'
quoziente = 3·102 + 4·101 + 5·100
resto = 6
dividendo ancora per 10 avro'
quoziente = 3·101 + 4·100
resto = 5
divido ancora per 10 ed ho
quoziente = 3·100
resto = 4
divido ancora per 10 ed ho
quoziente = 0
resto = 3
Se scrivo i resti in ordine inverso ottengo il numero in base 10 (naturalmente coincide con il numero di partenza
34567

quoziente resto
34567
6913 2
1382 3
276 2
55 1
11 0
2 1
0 2
Proviamo ora a scrivere lo stesso numero in base 5
(34567)10 = ( ... )5
Divido il numero per 5 una prima volta
quoziente = 6913      resto = 2
divido per 5
quoziente = 1382      resto = 3
divido per 5
quoziente = 276      resto = 2
divido per 5
quoziente = 55      resto = 1
divido per 5
quoziente = 11      resto = 0
divido per 5
quoziente = 2      resto = 1
divido per 5
quoziente = 0      resto = 2
Quindi ottengo:
(34567)10 = (2101232)5
Equivale a dire che
3·104 + 4·103 + 5·102 + 6·101 + 7·100 = 2·56 + 1·55 + 0·54 + 1·53 + 2·52 + 3·51 + 2·50
Visti questi legami potremo anche considerare le tabelle di Cayley (che faremo nella prossima pagina) come le tavole pitagoriche per la somma e per la moltiplicazione dei vari sistemi di numerazione, pero' ristrette al solo numero finale

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