Relazione di equivalenza ed insieme quoziente Ora procediamo su un esempio numerico per il divisore (5): poi potremo generalizzare a tutti i naturali maggiori di 1 Considero il resto dell'operazione di divisione su N per 5: La relazione "Avere lo stesso resto nell'operazione di divisione di un numero naturale per 5" e' una relazione di equivalenza:          Dimostrazione Questa relazione di equivalenza, applicata all'insieme N, lo suddivide nei sottoinsiemi (partizione di N): Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 0 Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 1 Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 2 Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 3 Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 4 Se ora considero l'insieme quoziente allora da N ottengo l'insieme dei resti modulo 5 r5 = { 0, 1, 2, 3, 4 } Lo chiamo con la lettera minuscola per non confonderlo con l'insieme R dei numeri reali. Potro' applicare lo stesso ragionamento con qualunque divisore che sia un elemento di N diverso da 0 ed 1 Nelle prossime pagine su questi insiemi r5, r4, r3, r2, r6, r7, r8, r9, . . . . studieremo nei particolari le strutture di gruppo con le operazioni   Inizio prima da r5 perche' siamo partiti da questo esempio, poi sviluppero' r4 r3 e, particolarmente importante, r2, poi riprendero' da r6 e continuero' fino ad r9, ma potrei continuare tranquillamente fin dove voglio