Permutazioni con ripetizione (o permutazioni con oggetti identici) Vediamo cosa succede quando alcuni degli oggetti su cui dobbiamo fare le permutazioni sono uguali; come esempio prendiamo il problema: Quanti anagrammi (anche senza significato) posso fare con le lettere della parola cannone? Sono 7 oggetti ma tre fra questi sono uguali quindi prese tutte le possibili permutazioni su 7 oggetti dovro' togliere quelle dove le lettere n non sono distinguibili (come fai a dire se ad esempio la n che compare al primo posto e' la prima o la seconda o la terza?) quindi per 7 oggetti avrei P7 = 7! Mentre per i tre oggetti uguali (le n) avrei) P3 = 3! quindi i possibili anagrammi saranno P7;3 P7 = ------ = P3 7! ----- 3! = 840 Ho bisogno di una spiegazione piu' approfondita Per fare i calcoli piu' velocemente osserva che vale P7;3 7! = ------ = 3! 7·6·5·4·3·2·1 --------------------- 3·2·1 7·6·5·4·3! = --------------- = 3! 7·6·5·4 = 840 cioe' nelle frazioni con fattoriali posso sempre considerare come nelle'espressione sopra e semplificare l'ultimo fattoriale (useremo spesso questa proprieta') Per completare vediamo anche il caso in cui gli oggetti identici siano di tipi diversi, come ad esempio l'anagramma della parola "matematica" ci sono due m , due t e tre a quindi P10;2,2,3 = 10! --------- 2! 2! 3! = 151200 Notare nella P il ; dopo il numero globale degli oggetti e la , fra i numeri di oggetti uguali Quindi la formula generale per le permutazioni su n oggetti di cui k1,k2,.....,kh uguali sara' Pn;k1,k2,.....,kh = n! ------------------- k1! k2!,....kh!