.
Formula di Bayes
(teorema della probabilita' delle cause)



La formula di Bayes e' detta anche teorema di Bayes in forma elementare
Siano E1 ed E2 2 eventi qualsiasi abbiamo visto (proprieta' moltiplicativa) che vale
P(E2) · P(E1|E2) = P(E1) · P(E2|E1)
che posso anche scrivere come
P(E1|E2) = P(E2|E1) · P(E1)
-------------------------------
P(E2)
Questa e' la cosiddetta formula di Bayes (o anche teorema di Bayes in forma elementare)
Questa formula si puo' estendere ad un evento E riferito a piu' eventi tra loro indipendenti (teorema di Bayes)
Dato l'evento E e gli eventi
E1, E2, E3 ..... En
che siano tra loro indipendenti ( Ej Ek = Ø per j,k=1,2,3,...n con j k )
allora vale la relazione
P(E|Ej)
P(Ej|E ) = P(Ej) ·
P(Ek) · P(E|Ek)

Esercizio:
Una fabbrica acquista dei pezzi lavorati presso 3 aziende A, B e C nelle percentuali del 20%, 30% e 50% rispettivamente
; sapendo che la percentuale di pezzi difettosi e'
azienda A = 3% di pezzi difettosi
azienda B = 4% di pezzi difettosi
azienda C = 2% di pezzi difettosi
Calcolare la probabilita' che, trovando un pezzo difettoso, esso provenga dall'azienda A
Evento E il pezzo e' difettoso
Evento E1 il pezzo proviene dall'azienda A
Evento E2 il pezzo proviene dall'azienda B
Evento E3 il pezzo proviene dall'azienda C
applichiamo la formula di Bayes
P(E|E1)
P(E1|E ) = P(E1) ·
P(E1) ·P(E|E1) + P(E2) ·P(E|E2) + P(E3) ·P(E|E3)
P(E1) = 20/100 = 1/5 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda A
P(E2) = 30/100 = 3/10 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda B
P(E3) = 50/100 = 1/2 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda C
P(E|E1) = 3/100 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda A sia difettoso
P(E|E2) = 4/100 = 1/25 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda B sia difettoso
P(E|E3) = 2/100 = 1/50 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda C sia difettoso
P(E1|E) = probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda A

3/100
P(E1|E ) = 1/5 · =
1/5 · 3/100 + 3/10 · 1/25 + 1/2 · 1/50


3/500 3/500
= = =
3/500 + 3/250 + 1/100 14/500


= 3/500 · 500/14 = 3/14 = 0,214... ~ 21%
La probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda A e' del 21%
Per completare
1) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda B       Soluzione
2) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda C       Soluzione

Pagina iniziale Indice di algebra Pagina successiva Pagina precedente