calcoli Risolvere l'integrale M(X) = ∫0+∞   xαe-αx dx = risolviamolo intanto come integrale indefinito, poi, sul risultato faremo le differenze da +∞ a 0 E' un integrale da risolvere per parti considerando x come il termine di cui conosciamo la derivata ed αe-αx come il termine di cui conosciamo l'integrale: la formula mnemonica e': ∫f g = f∫g -∫ [f'∫g] abbiamo f = x g = αe-αx f' = 1 ∫ g = ∫αe-αx = - e-αx    vedi lo sviluppo nella nota precedente applico la formula ∫xαe-αx dx = x∫ αe-αx dx- [∫ 1 ∫αe-αx dx] dx = = x(- e-αx)- [∫ 1 (-e-αx) dx = eseguo i calcoli = -x e-αx + ∫ e-αx dx =     anche questo ultimo integrale lo abbiamo gia' sviluppato = -x e-αx - e-αx α Ora torniamo all'integrale definito ∫0+∞   xαe-αx dx = -x e-αx - e-αx α +∞   0 = sostituendo +∞ al primo termine -x·e-αx ottengo la forma indeterminata 0·∞ che posso risolvere applicando la regola di De l'Hôpital Basta fare le derivate dei fattori e sostituire ad x +∞ -1 ·(-αe-αx)= αe-αx = αe-α(+∞) = αe-∞ = 0 sostituendo ad x il simbolo +∞ ottengo 0, quindi ho: = 0 + 0e0 - e-∞ α e0 +   α = 0 + 0 - 0 + 1 α quindi M(X) = 1 α