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Diremo che la successione a1, a2, a3, ..... an, ..... e' divergente se ammette limite infinito Le espressioni "successione a limite infinito" e "successione divergente" sono equivalenti: ma e' piu' semplice dire "divergente" piuttosto che"tende ad infinito", quindi d'ora in avanti useremo tale termine cioe' se preso un numero positivo M grande a piacere, esiste in sua corrispondenza un numero kM∈N e dipendente da M tale che quando il valore (in modulo) dei termini della successione supera il valore M allora ogni n e'superiore a kM In simboli limn→∞ an = ∞ ⇔ |an|> M ⇒ n > kM Se la successione a1, a2, a3, ..... an, ..... e' divergente allora la successione inversa
vale anche il viceversa: se la successione a1, a2, a3, ..... an, ..... e' infinitesima allora la successione inversa
Verifichiamo che le successioni gia' considerate nella pagina qui linkata sono divergenti: Esempio 1 (successione crescente a limite piu' infinito) verifichiamo che la successione ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,..... 2n-3, ..... diverge a +∞ Utilizzo la definizione di limite: Se considero un mumero positivo molto grande M, devo mostrare che esiste un legame fra M e l'indice n tale che piu' aumenta M piu' aumenta n. Da un certo momento in poi, se n e' grande, vale: |2n-3|> M Il primo termine e' una potenza a base positiva e quindi e' certamente positivo; allora posso togliere il modulo: 2n-3>M per ricavare l'esponente passo ai logaritmi a base 2: essendo entrambe le funzioni monotone crescenti la disuguaglianza si conserva log2 2n-3>log2 M Logaritmo e potenza si elidono n-3 >log2 M porto -3 dall'altra parte ed ottengo n > +3 + log2 M questa espressione e' equivalente alla prima Essendo M molto grande segue che anche 3 + log2 M e' molto grande ed essendo n > 3 + log2 M e piu' aumenta M piu' deve aumentare il valore di n come volevamo Esempio 2 (successione decrescente a limite meno infinito) verifichiamo che la successione -1, -2, -3,......,-n,..... diverge a -∞ (e' un esempio banale, facciamolo per vedere come comportarci, in generale, con il modulo) Utilizzo la definizione di limite: Se considero un mumero molto grande M, devo mostrare che esiste un legame fra M e l'indice n tale che piu' aumenta M piu' aumenta n. Da un certo momento in poi, se n e' grande, vale: | an|> M cioe' |-n|> M Avendo un modulo posso scomporre la disequazione nell'insieme di disequazioni -n > M e -n < -M Essendo M positivo la prima disequazione non ha soluzioni La seconda (moltiplicando per -1, numero negativo, la disequazione cambia di verso) mi da' n > M quindi Essendo M molto grande segue che anche n e' molto grande e piu' aumenta M piu' deve aumentare il valore di n come volevamo Esempio 3 (successione oscillante a limite infinito) verifichiamo che la successione -1, +2, -3, +4, -5, +6, -7, +8, ..... n·(-1)n, .... diverge ad ∞ Utilizzo la definizione di limite: Se considero un mumero positivo molto grande M, devo mostrare che esiste un legame fra M e l'indice n tale che piu' aumenta M piu' aumenta n. Da un certo momento in poi, se n e' grande, vale: |n·(-1)n|> M Avendo un modulo posso scomporre la disequazione nell'insieme di disequazioni n·(-1)n > M e n·(-1)n < -M
Quando M e' molto grande segue che sia n che -n sono molto grandi e piu' aumenta M piu' deve aumentare il valore assoluto di n cioe' n aumenta e -n diminuisce fornendo valori di an in un intorno completo di ∞ come volevamo Per avere una rappresentazione grafica guarda la terza e quarta figura di questa pagina sostituendo al valore 6 il termine M |
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