La serie armonica


Mostriamo ora, come applicazione, che la serie armonica e' divergente

Si definisce serie armonica la serie dei reciproci dei numeri naturali

s = 1 + 1

2
+ 1

3
+ 1

4
+ 1

5
+ .....
Essendo la serie tutta a termini positivi non puo' essere indeterminata, ma puo' essere solamente convergente oppure divergente

Considero la ridotta parziale sk, 2k del resto k-esimo della serie

sk, 2k = 1

k
+ 1

k+1
+ 1

k+2
+ ..... + 1

k+k


e' la somma di k termini ed e' sempre maggiore di 1/2, infatti

sk, 2k = 1

k
+ 1

k+1
+ 1

k+2
+ ..... + 1

k+k
> k

k+k
= 1

2
infatti i k termini sono decrescenti 1/k < 1/(k+1) < 1/(k+2) < 1/(k+3)... (se aumenta il denominatore il valore della frazione diminuisce) e quindi la loro somma e' maggiore della somma di k volte il termine piu' piccolo 1/(k+k) che vale k/(k+k) = k/2k = 1/2

Ora, per il criterio generale di convergenza se il resto k-esimo non tende a zero la serie non e' convergente, e quindi e' divergente, come volevamo mostrare

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