un esempio

Un esempio

Come conseguenza abbiamo che la serie armonica a segni alterni e' convergente

s = +1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

.....

E' convergente per il teorema di Leibniz: infatti la successione dei suoi termini (senza tener conto dei segni) e'

s = 1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

.....

e questa e' una successione monotona (decrescente) ed a termini tendenti a zero

Come esercizio maggioriamo e minoriamo la serie con una ridotta che la approssimi con precisione superiore ad almeno 1/1000
consideriamo la successione delle ridotte dispari
s₁, s₃, s₃, s₇, .....
con

s₁ = 1 +

1

3

1

5

1

7

.....

s₃ =

1

3

1

5

1

7

1

9

.....

s₅ =

1

5

1

7

1

9

1

11

.....

....................................

s_2k+1 =

1

2k+1

1

2k+3

1

2k+5

1

2k+7

.....

...................................................

consideriamo anche la successione delle ridotte pari
s₂, s₄, s₆, s₈, .....
con

s₂ =

1

2

1

4

1

6

1

8

.....

s₄ =

1

4

1

6

1

8

1

10

.....

s₆ =

1

6

1

8

1

10

1

12

.....

....................................

s_2k =

1

2k

1

2k+2

1

2k+4

1

2k+6

.....

...................................................

per essere sicuri di avere un'approssimazione superiore ad 1/1000 scegliamo k = 1000, cosi' 2k sara' 2000 e 2k+1 sara' 2001
abbiamo

s₂₀₀₀ =

1

2000

1

2002

1

2004

1

2006

.....

s₂₀₀₁ =

1

2001

1

2003

1

2005

1

2007

.....

approssimiamo per eccesso: vale la formula
s - s_2k ≤ a_2k+1
cioe'

s - s₂₀₀₀ ≤ 1

2001

cioe'

s ≤ s₂₀₀₀ + 1

2001

quindi la somma della ridotta s₂₀₀₀ (che e' negativa) approssima la somma della serie per meno di 1/2001 ≤ 1/1000
approssimiamo per difetto: vale la formula
s_2k-1 - s ≤ a_2k
o meglio, adottandola ai resti che abbiamo preso
s_2k+1 - s ≤ a_2k+2
cioe'

s₂₀₀₁ - s ≤ 1

2002

cioe'

s ≥ s₂₀₀₁ - 1

2002

s₂₀₀₁

-1/2001 ≥ -1/1000

Per finire vediamo un modo di approssimare la somma della serie
consideriamo il primo termine e la successione e la somma del primo termine e delle ridotte parziali
a₁, a₁ + r_1,1, a₁ + r_1,2, a₁ + r_1,3, a₁ + r_1,4, .....
cioe' il primo termine, la somma del primo e del secondo termine, la somma dei primi 3 termini, la somma dei primi 4 termini,...
Approssimo alla terza cifra decimale
a₁ = 1,00
a₁ + r_1,1 = 1 - 1/2 = 1/2 = 0,500
a₁ + r_1,2 = 1 - 1/2 + 1/3 = 5/6 = 0,833
a₁ + r_1,3 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 7/12 = 0,583
a₁ + r_1,4 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0,783
a₁ + r_1,5 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 = 37/60 = 0,617
a₁ + r_1,6 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 - 1/7 = 319/420 = 0,760
a₁ + r_1,7 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 = 533/840 = 0,635
................
Posso suddividere in due successioni, una crescente
0,500 0,583 0,617 0,635 0,646 0,653 0,659 0,663 ......
ed una decrescente
1,00 0,833 0,783 0,760 0,746 0,737 0,730 0,725 .....
(Calcoli fatti con la calcolatrice)
E' logico che, reiterando il procedimento, possiamo avvicinarci quanto vogliamo al valore della somma che, visto i dati trovati, si trova fra 0,663 e 0,725