Sistemi di grado superiore

Per risolvere un sistema di grado superiore occorre risolvere un'equazione di grado superiore al secondo
Vediamo un esercizio: Risolvere il sistema
x2 + y2 = 37
xy = 6

e' un sistema di quarto grado perche' le due equazioni che lo compongono sono di secondo grado, quindi ci aspettiamo una equazione di quarto grado e quindi con 4 soluzioni
ricavo y dalla seconda equazione
x2 + y2 = 37
y = 6/x

devo pero' porre la condizione x 0
ora vado a sostituire il valore della y trovato al posto della y nella prima equazione x2 + (6/x)2 = 37
------------

sviluppo il quadrato sia al numeratore che al denominatore
x2 + 36/x2 = 37
-------------

ora faccio il minimo comune multiplo x2
x4 + 36        37x2
----------- = -------
     x2            2
-------------

avendo supposto x diverso da zero posso eliminare il denominatore
x4 + 36 = 37x2
-------------

x4 - 37x2 + 36 = 0
-------------

ora devo risolvere l'equazione biquadratica

x4 - 37x2 + 36 = 0           calcoli

ottengo le 4 soluzioni

x1 = -6           x2 = -1           x3 = 1           x4 = 6

Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta alla x nella seconda equazione per trovare il valore della y
  • Primo valore x1 = -6
    x = -6
    y = 6/(-6)

    x1 = -6
    y1 = -1

  • Secondo valore x2 = -1
    x = -1
    y = 6/(-1)

    x2 = -1
    y2 = -6

  • Terzo valore x3 = 1
    x = 1
    y = 6/1

    x3 = 1
    y3 = 6

  • Quarto valore x4 = 6
    x = 6
    y = 6/6

    x4 = 6
    y4 = 1

Ottengo quindi le soluzioni (4 come avevamo previsto)
x1 = -6
y1 = -1
          x2 = -1
y2 = -6
          x3 = 1
y3 = 6
          x4 = 6
y4 = 1


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