Prodotto di limiti di successioni convergenti

Se le successioni

a1,  a2,  a3,  a4, .........  an,  .......
e
b1,  b2,  b3, b4, .........  bn,  .......

sono convergenti allora anche il loro prodotto converge e il limite del loro prodotto e' uguale al prodotto dei limiti

limn→∞ (an·bn) = limn→∞ an · limn→∞ bn


Per esercizio proviamo a dimostrarlo, pero' qui ci vogliono i moduli e precisamente il teorema sui moduli che dice:
il modulo di una somma e' minore od uguale alla somma dei moduli degli addendi
|x+y|≤ |x|+|y|

Supponiamo di avere
limn→∞ an = a e limn→∞ bn = b
Devo dimostrare che ab e' il limite di an·bn, considero
|an·bn - ab|=
devo mostrare che e' infinitesimo; tolgo e aggiungo il termine abn
|an·bn - ab|= |an·bn - a bn +a bn - ab|
per il teorema sui moduli posso scrivere
|an·bn - a bn + a bn - ab| ≤ |an·bn - a bn| + |a bn - ab|=
posso raccogliere
= |bn·(an - a)| + |a·(bn - a)| =
essendo a il limite di an allora |an - a| e' infinitesima ed essendo |bn·(an - a)| prodotto di una successione limitata (bn) con una successione infinitesima allora e' infinitesimo
Stesso ragionamento per l'addendo a·(bn - a):
essendo b il limite di bn allora |bn - b| e' infinitesima ed essendo a un limite finito allora il suo prodotto con una successione infinitesima e' infinitesimo
quindi il termine |an·bn - ab| essendo minore od uguale di due infinitesimi e' anche lui infinitesimo e ne consegue che ab e' il limite di an·bn, come volevamo

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