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Distribuzione esponenziale Anche questa e' interessante soprattutto per i calcoli che ci introducono poi alla distribuzione piu' "gettonata" (legge di Gauss) Consideriamo la variabile casuale X che assume tutti i valori nell'intervallo [0;+∞] con funzione densita' f(x) = ke-αx con α valore dato e k valore da determinare Essendo la probabilita' totale su [0;+∞] uguale ad 1 possiamo trovare il valore di k impostando l'equazione ∫0+∞ ke-αxdx = 1 otteniamo     Calcoli k -α e-αx +∞   0 =1 k -α (0-1) =1 k α =1 k = α quindi la nostra funzione densita' e' f(x) = αe-αx Il grafico di tale funzione, essendo una funzione di tipo esponenziale con esponente negativo, parte dal valore α sull'asse y (infatti ponendo x=0 abbiamo y=αe0=α·1=α) e si avvicina asintoticamente all'asse delle x (per x →+∞ abbiamo y →αe-∞= α·0 =0 Otterremo la funzione di ripartizione calcolando l'integrale da 0 a x della funzione densita' F(x) = ∫0x   αe-αt dt = = - ∫0t -α e-αtdt = - | e-αt | x   0 = -e-αx + 1 = 1 - e-αx Calcoli quindi abbiamo la funzione di ripartizione F(x) = 0               se x < 0 1 - e-αx        se x≥0 a destra la sua rappresentazione grafica           studio intuitivo della funzione Calcoliamo ora il valore medio M(X) = ∫0+∞ x αe-αxdx = α∫0+∞ x e-αxdx Questo e' un integrale per parti che ha soluzione M(X) = -α| xe-αx α | +∞   0 -| e-αx α | +∞   0 M(X) = 1 α          Calcoli Calcoliamo ancora la varianza Prima calcolo il valore medio del quadrato della variabile aleatoria M(X2) = ∫0+∞ x2αe-αxdx Anche questo e' un integrale per parti che ha soluzione M(X2) = 2 α2          Calcoli Adesso, per trovare la varianza da questo valore sottraggo il quadrato del valore medio σ2(X) = M(X2)- [M(X)]2 = 2      - α2 1    = α2 1    α2 Infine calcoliamo lo scarto quadratico medio Basta applicare la radice al risultato precedente: otteniamo σ = 1 α2 1 =     α quindi Nella variabile casuale con distribuzione esponenziale lo scarto quadratico medio coincide con il valore medio