Esempi di struttura di spazio vettoriale Consideriamo i seguenti esempi e mostriamo per ciascuno la presenza della struttura di spazio vettoriale, oppure mostriamo che tale struttura non esiste: per ognuno dovremo mostrare: Supponendo presente la struttura di corpo su K dovremo mostrare: la presenza di un gruppo commutativo su V con la somma la commutativita' del prodotto scalare la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari la proprieta' associativa fra gli scalari Insieme C dei numeri complessi sul corpo R con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione in C e con la moltiplicazione scalare RC numero reale per numero complesso dimostrazione Ogni corpo K e'uno spazio vettoriale su se' stesso; in tal caso vettori e scalari coincidono dimostrazione Insieme R3 dello spazio ordinario con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con la moltiplicazione scalare RR3 dimostrazione Insieme Rn dello spazio ad n dimensioni con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con la moltiplicazione scalare RRn dimostrazione Uno spazio funzionale F(x) i cui elementi sono funzioni y=f(x) in cui e' definita la somma vettoriale come f(x)+g(x) ed il prodotto scalare come a·f(x) con a appartenete ad R dimostrazione Insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le normali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) fra polinomi sul corpo R e con la normale moltiplicazione · come prodotto scalare dimostrazione